Datrys {l}{5x+2y=17}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{45}{11} = 4\frac{1}{11} \approx 4.090909091$$

$$y = -\frac{19}{11} = -1\frac{8}{11} \approx -1.727272727$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+2y=17$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-2y+17$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+17\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2y+17.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}$$

Amnewid \frac{-2y+17}{5} am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=3.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}\right)+3y=3$$

Lluoswch 2 â \frac{-2y+17}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{34}{5}+3y=3$$

Adio -\frac{4y}{5} at 3y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{34}{5}=3$$

Tynnu \frac{34}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{19}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{11}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{19}{11}$$

Cyfnewidiwch -\frac{19}{11} am y yn x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{19}{11}\right)+\frac{17}{5}$$

Lluoswch -\frac{2}{5} â -\frac{19}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{38}{55}+\frac{17}{5}$$

Adio \frac{17}{5} at \frac{38}{55} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{45}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}&\frac{5}{5\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 17-\frac{2}{11}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 17+\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{11}\\-\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

I wneud 5x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 17,5\times 2x+5\times 3y=5\times 3$$

Symleiddio.

$$10x+4y=34,10x+15y=15$$

Tynnwch 10x+15y=15 o 10x+4y=34 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+4y-15y=34-15$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y-15y=34-15$$

Adio 4y at -15y.

$$-11y=34-15$$

Adio 34 at -15.

$$-11y=19$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$y=-\frac{19}{11}$$

Cyfnewidiwch -\frac{19}{11} am y yn 2x+3y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+3\left(-\frac{19}{11}\right)=3$$

Lluoswch 3 â -\frac{19}{11}.

$$2x-\frac{57}{11}=3$$

Adio \frac{57}{11} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{90}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{45}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$