Datrys {l}{5x+2y=16}{x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 16 } \\ { x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+2y=16,x-3y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+2y=16$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-2y+16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+16\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2y+16.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

Amnewid \frac{-2y+16}{5} am x yn yr hafaliad arall, x-3y=10.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}-3y=10$$

Adio -\frac{2y}{5} at -3y.

$$-\frac{17}{5}y+\frac{16}{5}=10$$

Tynnu \frac{16}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{17}{5}y=\frac{34}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{17}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=-\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-2\right)+\frac{16}{5}$$

Lluoswch -\frac{2}{5} â -2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

Adio \frac{16}{5} at \frac{4}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+2y=16,x-3y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2}\\-\frac{1}{5\left(-3\right)-2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 16+\frac{2}{17}\times 10\\\frac{1}{17}\times 16-\frac{5}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+2y=16,x-3y=10$$

I wneud 5x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$5x+2y=16,5x+5\left(-3\right)y=5\times 10$$

Symleiddio.

$$5x+2y=16,5x-15y=50$$

Tynnwch 5x-15y=50 o 5x+2y=16 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-5x+2y+15y=16-50$$

Adio 5x at -5x. Mae'r termau 5x a -5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y+15y=16-50$$

Adio 2y at 15y.

$$17y=16-50$$

Adio 16 at -50.

$$17y=-34$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x-3y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-3\left(-2\right)=10$$

Lluoswch -3 â -2.

$$x+6=10$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=-2$$