Datrys {l}{5x+2y=10}{4x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 10 } \\ { 4 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+2y=10$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-2y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2y+10.

$$x=-\frac{2}{5}y+2$$

Amnewid -\frac{2y}{5}+2 am x yn yr hafaliad arall, 4x+y=8.

$$4\left(-\frac{2}{5}y+2\right)+y=8$$

Lluoswch 4 â -\frac{2y}{5}+2.

$$-\frac{8}{5}y+8+y=8$$

Adio -\frac{8y}{5} at y.

$$-\frac{3}{5}y+8=8$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{3}{5}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{3}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=-\frac{2}{5}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{5}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{4}{3}\times 10-\frac{5}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

I wneud 5x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$4\times 5x+4\times 2y=4\times 10,5\times 4x+5y=5\times 8$$

Symleiddio.

$$20x+8y=40,20x+5y=40$$

Tynnwch 20x+5y=40 o 20x+8y=40 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$20x-20x+8y-5y=40-40$$

Adio 20x at -20x. Mae'r termau 20x a -20x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8y-5y=40-40$$

Adio 8y at -5y.

$$3y=40-40$$

Adio 40 at -40.

$$3y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn 4x+y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=0$$