Datrys {l}{5x+2y=-16}{2x-3y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 16 } \\ { 2 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-2$$

$$y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+2y=-16$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-2y-16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-16\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2y-16.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}$$

Amnewid \frac{-2y-16}{5} am x yn yr hafaliad arall, 2x-3y=5.

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}\right)-3y=5$$

Lluoswch 2 â \frac{-2y-16}{5}.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{32}{5}-3y=5$$

Adio -\frac{4y}{5} at -3y.

$$-\frac{19}{5}y-\frac{32}{5}=5$$

Adio \frac{32}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{19}{5}y=\frac{57}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{19}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{16}{5}$$

Lluoswch -\frac{2}{5} â -3.

$$x=\frac{6-16}{5}$$

Adio -\frac{16}{5} at \frac{6}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\left(-16\right)+\frac{2}{19}\times 5\\\frac{2}{19}\left(-16\right)-\frac{5}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-2,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

I wneud 5x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-16\right),5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 5$$

Symleiddio.

$$10x+4y=-32,10x-15y=25$$

Tynnwch 10x-15y=25 o 10x+4y=-32 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+4y+15y=-32-25$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y+15y=-32-25$$

Adio 4y at 15y.

$$19y=-32-25$$

Adio -32 at -25.

$$19y=-57$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn 2x-3y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-3\left(-3\right)=5$$

Lluoswch -3 â -3.

$$2x+9=5$$

Tynnu 9 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=-3$$