Datrys {l}{5m+2n=-1}{3m+2n=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 m + 2 n = - 1 } \\ { 3 m + 2 n = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer m, n

$$m=\frac{1}{2}=0.5$$

$$n = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5m+2n=-1,3m+2n=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer m drwy ynysu m ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5m+2n=-1$$

Tynnu 2n o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5m=-2n-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$m=\frac{1}{5}\left(-2n-1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2n-1.

$$m=-\frac{2}{5}n-\frac{1}{5}$$

Amnewid \frac{-2n-1}{5} am m yn yr hafaliad arall, 3m+2n=-2.

$$3\left(-\frac{2}{5}n-\frac{1}{5}\right)+2n=-2$$

Lluoswch 3 â \frac{-2n-1}{5}.

$$-\frac{6}{5}n-\frac{3}{5}+2n=-2$$

Adio -\frac{6n}{5} at 2n.

$$\frac{4}{5}n-\frac{3}{5}=-2$$

Adio \frac{3}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{4}{5}n=-\frac{7}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{4}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$n=-\frac{7}{4}$$

Cyfnewidiwch -\frac{7}{4} am n yn m=-\frac{2}{5}n-\frac{1}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$m=-\frac{2}{5}\left(-\frac{7}{4}\right)-\frac{1}{5}$$

Lluoswch -\frac{2}{5} â -\frac{7}{4} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$m=\frac{7}{10}-\frac{1}{5}$$

Adio -\frac{1}{5} at \frac{7}{10} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$m=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=\frac{1}{2},n=-\frac{7}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5m+2n=-1,3m+2n=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2\times 3}&-\frac{2}{5\times 2-2\times 3}\\-\frac{3}{5\times 2-2\times 3}&\frac{5}{5\times 2-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{4}&\frac{5}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\\-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{5}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics m a n.

$$m=\frac{1}{2},n=-\frac{7}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5m+2n=-1,3m+2n=-2$$

Tynnwch 3m+2n=-2 o 5m+2n=-1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5m-3m+2n-2n=-1+2$$

Adio 2n at -2n. Mae'r termau 2n a -2n yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5m-3m=-1+2$$

Adio 5m at -3m.

$$2m=-1+2$$

Adio -1 at 2.

$$2m=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$m=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am m yn 3m+2n=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer n yn uniongyrchol.

$$3\times \frac{1}{2}+2n=-2$$

Lluoswch 3 â \frac{1}{2}.

$$\frac{3}{2}+2n=-2$$

Tynnu \frac{3}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2n=-\frac{7}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$n=-\frac{7}{4}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=\frac{1}{2},n=-\frac{7}{4}$$