Datrys {l}{5b+c=8}{4b+4c=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer b, c

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer b drwy ynysu b ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5b+c=8$$

Tynnu c o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5b=-c+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -c+8.

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

Amnewid \frac{-c+8}{5} am b yn yr hafaliad arall, 4b+4c=8.

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

Lluoswch 4 â \frac{-c+8}{5}.

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

Adio -\frac{4c}{5} at 4c.

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

Tynnu \frac{32}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{16}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$c=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am c yn b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer b yn uniongyrchol.

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

Lluoswch -\frac{1}{5} â \frac{1}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

Adio \frac{8}{5} at -\frac{1}{10} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$b=\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics b a c.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

I wneud 5b a 4b yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

Symleiddio.

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

Tynnwch 20b+20c=40 o 20b+4c=32 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

Adio 20b at -20b. Mae'r termau 20b a -20b yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4c-20c=32-40$$

Adio 4c at -20c.

$$-16c=32-40$$

Adio 32 at -40.

$$-16c=-8$$

Rhannu’r ddwy ochr â -16.

$$c=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am c yn 4b+4c=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer b yn uniongyrchol.

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

Lluoswch 4 â \frac{1}{2}.

$$4b+2=8$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4b=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$b=\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$