Datrys {l}{40x+30y=500}{60x+15y=600}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$40x+30y=500$$

Tynnu 30y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$40x=-30y+500$$

Rhannu’r ddwy ochr â 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

Lluoswch \frac{1}{40} â -30y+500.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

Amnewid -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} am x yn yr hafaliad arall, 60x+15y=600.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

Lluoswch 60 â -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}.

$$-45y+750+15y=600$$

Adio -45y at 15y.

$$-30y+750=600$$

Tynnu 750 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-30y=-150$$

Rhannu’r ddwy ochr â -30.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â 5.

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

Adio \frac{25}{2} at -\frac{15}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{35}{4}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

I wneud 40x a 60x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 60 a holl dermau naill ochr yr ail â 40.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

Symleiddio.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

Tynnwch 2400x+600y=24000 o 2400x+1800y=30000 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

Adio 2400x at -2400x. Mae'r termau 2400x a -2400x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$1800y-600y=30000-24000$$

Adio 1800y at -600y.

$$1200y=30000-24000$$

Adio 30000 at -24000.

$$1200y=6000$$

Rhannu’r ddwy ochr â 1200.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 60x+15y=600. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$60x+15\times 5=600$$

Lluoswch 15 â 5.

$$60x+75=600$$

Tynnu 75 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$60x=525$$

Rhannu’r ddwy ochr â 60.

$$x=\frac{35}{4}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$