Datrys {l}{4x-y=22}{3x+4y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 22 } \\ { 3 x + 4 y = 26 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-y=22$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=y+22$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+22\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â y+22.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{2}$$

Amnewid \frac{y}{4}+\frac{11}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x+4y=26.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{11}{2}\right)+4y=26$$

Lluoswch 3 â \frac{y}{4}+\frac{11}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{33}{2}+4y=26$$

Adio \frac{3y}{4} at 4y.

$$\frac{19}{4}y+\frac{33}{2}=26$$

Tynnu \frac{33}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{19}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{4}\times 2+\frac{11}{2}$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 2.

$$x=\frac{1+11}{2}$$

Adio \frac{11}{2} at \frac{1}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\times 22+\frac{1}{19}\times 26\\-\frac{3}{19}\times 22+\frac{4}{19}\times 26\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=6,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

I wneud 4x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 22,4\times 3x+4\times 4y=4\times 26$$

Symleiddio.

$$12x-3y=66,12x+16y=104$$

Tynnwch 12x+16y=104 o 12x-3y=66 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x-3y-16y=66-104$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3y-16y=66-104$$

Adio -3y at -16y.

$$-19y=66-104$$

Adio 66 at -104.

$$-19y=-38$$

Rhannu’r ddwy ochr â -19.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 3x+4y=26. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+4\times 2=26$$

Lluoswch 4 â 2.

$$3x+8=26$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=2$$