Datrys {l}{4x-3y=1}{5x+3y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-1$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-3y=1$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=3y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Amnewid \frac{3y+1}{4} am x yn yr hafaliad arall, 5x+3y=-10.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+3y=-10$$

Lluoswch 5 â \frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+3y=-10$$

Adio \frac{15y}{4} at 3y.

$$\frac{27}{4}y+\frac{5}{4}=-10$$

Tynnu \frac{5}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{27}{4}y=-\frac{45}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{27}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{3} am y yn x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{4}\left(-\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{4}$$

Lluoswch \frac{3}{4} â -\frac{5}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{-5+1}{4}$$

Adio \frac{1}{4} at -\frac{5}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{5}{27}&\frac{4}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\\-\frac{5}{27}+\frac{4}{27}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

I wneud 4x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-10\right)$$

Symleiddio.

$$20x-15y=5,20x+12y=-40$$

Tynnwch 20x+12y=-40 o 20x-15y=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$20x-20x-15y-12y=5+40$$

Adio 20x at -20x. Mae'r termau 20x a -20x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-15y-12y=5+40$$

Adio -15y at -12y.

$$-27y=5+40$$

Adio 5 at 40.

$$-27y=45$$

Rhannu’r ddwy ochr â -27.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{3} am y yn 5x+3y=-10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+3\left(-\frac{5}{3}\right)=-10$$

Lluoswch 3 â -\frac{5}{3}.

$$5x-5=-10$$

Adio 5 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$