Datrys {l}{4x-3y=1}{5x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-3y=1,5x+2y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-3y=1$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=3y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Amnewid \frac{3y+1}{4} am x yn yr hafaliad arall, 5x+2y=7.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+2y=7$$

Lluoswch 5 â \frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

Adio \frac{15y}{4} at 2y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Tynnu \frac{5}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{23}{4}y=\frac{23}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{23}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

Adio \frac{1}{4} at \frac{3}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-3y=1,5x+2y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{5}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}+\frac{3}{23}\times 7\\-\frac{5}{23}+\frac{4}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-3y=1,5x+2y=7$$

I wneud 4x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 2y=4\times 7$$

Symleiddio.

$$20x-15y=5,20x+8y=28$$

Tynnwch 20x+8y=28 o 20x-15y=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$20x-20x-15y-8y=5-28$$

Adio 20x at -20x. Mae'r termau 20x a -20x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-15y-8y=5-28$$

Adio -15y at -8y.

$$-23y=5-28$$

Adio 5 at -28.

$$-23y=-23$$

Rhannu’r ddwy ochr â -23.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 5x+2y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+2=7$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$