Datrys {l}{4x-2y=10}{3x+5y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 10 } \\ { 3 x + 5 y = 14 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-2y=10,3x+5y=14$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-2y=10$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=2y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 10+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Amnewid \frac{5+y}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x+5y=14.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+5y=14$$

Lluoswch 3 â \frac{5+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+5y=14$$

Adio \frac{3y}{2} at 5y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{15}{2}=14$$

Tynnu \frac{15}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{13}{2}y=\frac{13}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1+5}{2}$$

Adio \frac{5}{2} at \frac{1}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-2y=10,3x+5y=14$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{26}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}\times 10+\frac{1}{13}\times 14\\-\frac{3}{26}\times 10+\frac{2}{13}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-2y=10,3x+5y=14$$

I wneud 4x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y=3\times 10,4\times 3x+4\times 5y=4\times 14$$

Symleiddio.

$$12x-6y=30,12x+20y=56$$

Tynnwch 12x+20y=56 o 12x-6y=30 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x-6y-20y=30-56$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-6y-20y=30-56$$

Adio -6y at -20y.

$$-26y=30-56$$

Adio 30 at -56.

$$-26y=-26$$

Rhannu’r ddwy ochr â -26.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 3x+5y=14. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+5=14$$

Tynnu 5 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$