Datrys {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=45$$

$$y=-165$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+y=15$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-y+15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

Amnewid \frac{-y+15}{4} am x yn yr hafaliad arall, 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

Lluoswch 19 â \frac{-y+15}{4}.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

Adio -\frac{19y}{4} at 5y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

Tynnu \frac{285}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 4.

$$y=-165$$

Cyfnewidiwch -165 am y yn x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â -165.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

Adio \frac{15}{4} at \frac{165}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=45$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=45,y=-165$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=45,y=-165$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

I wneud 4x a 19x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 19 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

Symleiddio.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

Tynnwch 76x+20y=120 o 76x+19y=285 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

Adio 76x at -76x. Mae'r termau 76x a -76x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$19y-20y=285-120$$

Adio 19y at -20y.

$$-y=285-120$$

Adio 285 at -120.

$$-y=165$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=-165$$

Cyfnewidiwch -165 am y yn 19x+5y=30. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

Lluoswch 5 â -165.

$$19x-825=30$$

Adio 825 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$19x=855$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$x=45$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=45,y=-165$$