Datrys {l}{4x+9y=28}{-4x-y=-28}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 28 } \\ { - 4 x - y = - 28 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+9y=28$$

Tynnu 9y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-9y+28$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+28\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -9y+28.

$$x=-\frac{9}{4}y+7$$

Amnewid -\frac{9y}{4}+7 am x yn yr hafaliad arall, -4x-y=-28.

$$-4\left(-\frac{9}{4}y+7\right)-y=-28$$

Lluoswch -4 â -\frac{9y}{4}+7.

$$9y-28-y=-28$$

Adio 9y at -y.

$$8y-28=-28$$

Adio 28 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$8y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=-\frac{9}{4}y+7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&-\frac{9}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}\times 28-\frac{9}{32}\left(-28\right)\\\frac{1}{8}\times 28+\frac{1}{8}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

I wneud 4x a -4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -4 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$-4\times 4x-4\times 9y=-4\times 28,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-28\right)$$

Symleiddio.

$$-16x-36y=-112,-16x-4y=-112$$

Tynnwch -16x-4y=-112 o -16x-36y=-112 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-16x+16x-36y+4y=-112+112$$

Adio -16x at 16x. Mae'r termau -16x a 16x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-36y+4y=-112+112$$

Adio -36y at 4y.

$$-32y=-112+112$$

Adio -112 at 112.

$$-32y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â -32.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn -4x-y=-28. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-4x=-28$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=0$$