Datrys {l}{4x+9y=13}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 13 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{37}{19} = 1\frac{18}{19} \approx 1.947368421$$

$$y=\frac{11}{19}\approx 0.578947368$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+9y=13$$

Tynnu 9y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-9y+13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+13\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -9y+13.

$$x=-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}$$

Amnewid \frac{-9y+13}{4} am x yn yr hafaliad arall, 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}\right)+2y=7$$

Lluoswch 3 â \frac{-9y+13}{4}.

$$-\frac{27}{4}y+\frac{39}{4}+2y=7$$

Adio -\frac{27y}{4} at 2y.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{39}{4}=7$$

Tynnu \frac{39}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{19}{4}y=-\frac{11}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{19}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{11}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{11}{19} am y yn x=-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{9}{4}\times \frac{11}{19}+\frac{13}{4}$$

Lluoswch -\frac{9}{4} â \frac{11}{19} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{99}{76}+\frac{13}{4}$$

Adio \frac{13}{4} at -\frac{99}{76} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{37}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-9\times 3}&-\frac{9}{4\times 2-9\times 3}\\-\frac{3}{4\times 2-9\times 3}&\frac{4}{4\times 2-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{9}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 13+\frac{9}{19}\times 7\\\frac{3}{19}\times 13-\frac{4}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{19}\\\frac{11}{19}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

I wneud 4x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$3\times 4x+3\times 9y=3\times 13,4\times 3x+4\times 2y=4\times 7$$

Symleiddio.

$$12x+27y=39,12x+8y=28$$

Tynnwch 12x+8y=28 o 12x+27y=39 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+27y-8y=39-28$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$27y-8y=39-28$$

Adio 27y at -8y.

$$19y=39-28$$

Adio 39 at -28.

$$19y=11$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$y=\frac{11}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{11}{19} am y yn 3x+2y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2\times \frac{11}{19}=7$$

Lluoswch 2 â \frac{11}{19}.

$$3x+\frac{22}{19}=7$$

Tynnu \frac{22}{19} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=\frac{111}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{37}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$