Datrys {l}{4x+9y=-21}{3x+4y=-13}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 21 } \\ { 3 x + 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-3$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+9y=-21$$

Tynnu 9y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-9y-21$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-21\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -9y-21.

$$x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}$$

Amnewid \frac{-9y-21}{4} am x yn yr hafaliad arall, 3x+4y=-13.

$$3\left(-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}\right)+4y=-13$$

Lluoswch 3 â \frac{-9y-21}{4}.

$$-\frac{27}{4}y-\frac{63}{4}+4y=-13$$

Adio -\frac{27y}{4} at 4y.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{63}{4}=-13$$

Adio \frac{63}{4} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{11}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{9}{4}\left(-1\right)-\frac{21}{4}$$

Lluoswch -\frac{9}{4} â -1.

$$x=\frac{9-21}{4}$$

Adio -\frac{21}{4} at \frac{9}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-9\times 3}&-\frac{9}{4\times 4-9\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-9\times 3}&\frac{4}{4\times 4-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{9}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\left(-21\right)+\frac{9}{11}\left(-13\right)\\\frac{3}{11}\left(-21\right)-\frac{4}{11}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-3,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

I wneud 4x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$3\times 4x+3\times 9y=3\left(-21\right),4\times 3x+4\times 4y=4\left(-13\right)$$

Symleiddio.

$$12x+27y=-63,12x+16y=-52$$

Tynnwch 12x+16y=-52 o 12x+27y=-63 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+27y-16y=-63+52$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$27y-16y=-63+52$$

Adio 27y at -16y.

$$11y=-63+52$$

Adio -63 at 52.

$$11y=-11$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn 3x+4y=-13. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+4\left(-1\right)=-13$$

Lluoswch 4 â -1.

$$3x-4=-13$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=-1$$