Datrys {l}{4x+7y=2}{5x+6y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+7y=2$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-7y+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -7y+2.

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

Amnewid -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} am x yn yr hafaliad arall, 5x+6y=4.

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

Lluoswch 5 â -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

Adio -\frac{35y}{4} at 6y.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

Tynnu \frac{5}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Cyfnewidiwch -\frac{6}{11} am y yn x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

Lluoswch -\frac{7}{4} â -\frac{6}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at \frac{21}{22} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{16}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

I wneud 4x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

Symleiddio.

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

Tynnwch 20x+24y=16 o 20x+35y=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

Adio 20x at -20x. Mae'r termau 20x a -20x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$35y-24y=10-16$$

Adio 35y at -24y.

$$11y=10-16$$

Adio 10 at -16.

$$11y=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Cyfnewidiwch -\frac{6}{11} am y yn 5x+6y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

Lluoswch 6 â -\frac{6}{11}.

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

Adio \frac{36}{11} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=\frac{80}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{16}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$