Datrys {l}{4x+5y=8}{-x+2y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 8 } \\ { - x + 2 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+5y=8,-x+2y=-15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+5y=8$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-5y+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -5y+8.

$$x=-\frac{5}{4}y+2$$

Amnewid -\frac{5y}{4}+2 am x yn yr hafaliad arall, -x+2y=-15.

$$-\left(-\frac{5}{4}y+2\right)+2y=-15$$

Lluoswch -1 â -\frac{5y}{4}+2.

$$\frac{5}{4}y-2+2y=-15$$

Adio \frac{5y}{4} at 2y.

$$\frac{13}{4}y-2=-15$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{13}{4}y=-13$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am y yn x=-\frac{5}{4}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-4\right)+2$$

Lluoswch -\frac{5}{4} â -4.

$$x=5+2$$

Adio 2 at 5.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+5y=8,-x+2y=-15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{4\times 2-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{4\times 2-5\left(-1\right)}&\frac{4}{4\times 2-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8-\frac{5}{13}\left(-15\right)\\\frac{1}{13}\times 8+\frac{4}{13}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+5y=8,-x+2y=-15$$

I wneud 4x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$-4x-5y=-8,4\left(-1\right)x+4\times 2y=4\left(-15\right)$$

Symleiddio.

$$-4x-5y=-8,-4x+8y=-60$$

Tynnwch -4x+8y=-60 o -4x-5y=-8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-4x+4x-5y-8y=-8+60$$

Adio -4x at 4x. Mae'r termau -4x a 4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-5y-8y=-8+60$$

Adio -5y at -8y.

$$-13y=-8+60$$

Adio -8 at 60.

$$-13y=52$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$y=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am y yn -x+2y=-15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+2\left(-4\right)=-15$$

Lluoswch 2 â -4.

$$-x-8=-15$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-7$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=-4$$