Datrys {l}{4x+5y=11}{y=3x-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 11 } \\ { y = 3 x - 18 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{101}{19} = 5\frac{6}{19} \approx 5.315789474$$

$$y = -\frac{39}{19} = -2\frac{1}{19} \approx -2.052631579$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-18$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+5y=11,-3x+y=-18$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+5y=11$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-5y+11$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+11\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -5y+11.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{11}{4}$$

Amnewid \frac{-5y+11}{4} am x yn yr hafaliad arall, -3x+y=-18.

$$-3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{11}{4}\right)+y=-18$$

Lluoswch -3 â \frac{-5y+11}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{33}{4}+y=-18$$

Adio \frac{15y}{4} at y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{33}{4}=-18$$

Adio \frac{33}{4} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{19}{4}y=-\frac{39}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{19}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{39}{19}$$

Cyfnewidiwch -\frac{39}{19} am y yn x=-\frac{5}{4}y+\frac{11}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{39}{19}\right)+\frac{11}{4}$$

Lluoswch -\frac{5}{4} â -\frac{39}{19} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{195}{76}+\frac{11}{4}$$

Adio \frac{11}{4} at \frac{195}{76} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{101}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{101}{19},y=-\frac{39}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-18$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+5y=11,-3x+y=-18$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-5\left(-3\right)}&\frac{4}{4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 11-\frac{5}{19}\left(-18\right)\\\frac{3}{19}\times 11+\frac{4}{19}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{101}{19}\\-\frac{39}{19}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{101}{19},y=-\frac{39}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-18$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+5y=11,-3x+y=-18$$

I wneud 4x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$-3\times 4x-3\times 5y=-3\times 11,4\left(-3\right)x+4y=4\left(-18\right)$$

Symleiddio.

$$-12x-15y=-33,-12x+4y=-72$$

Tynnwch -12x+4y=-72 o -12x-15y=-33 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-12x+12x-15y-4y=-33+72$$

Adio -12x at 12x. Mae'r termau -12x a 12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-15y-4y=-33+72$$

Adio -15y at -4y.

$$-19y=-33+72$$

Adio -33 at 72.

$$-19y=39$$

Rhannu’r ddwy ochr â -19.

$$y=-\frac{39}{19}$$

Cyfnewidiwch -\frac{39}{19} am y yn -3x+y=-18. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x-\frac{39}{19}=-18$$

Adio \frac{39}{19} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-\frac{303}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=\frac{101}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{101}{19},y=-\frac{39}{19}$$