Datrys {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+5y=1$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-5y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -5y+1.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

Amnewid \frac{-5y+1}{4} am x yn yr hafaliad arall, 5x-7y=1.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

Lluoswch 5 â \frac{-5y+1}{4}.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

Adio -\frac{25y}{4} at -7y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

Tynnu \frac{5}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{53}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{1}{53}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{53} am y yn x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

Lluoswch -\frac{5}{4} â \frac{1}{53} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

Adio \frac{1}{4} at -\frac{5}{212} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{12}{53}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

I wneud 4x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

Symleiddio.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

Tynnwch 20x-28y=4 o 20x+25y=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

Adio 20x at -20x. Mae'r termau 20x a -20x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$25y+28y=5-4$$

Adio 25y at 28y.

$$53y=5-4$$

Adio 5 at -4.

$$53y=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 53.

$$y=\frac{1}{53}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{53} am y yn 5x-7y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

Lluoswch -7 â \frac{1}{53}.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

Adio \frac{7}{53} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=\frac{60}{53}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{12}{53}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$