Datrys {l}{4x+5y=0}{8x-15y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 0 } \\ { 8 x - 15 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+5y=0$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-5y$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5\right)y$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -5y.

$$x=-\frac{5}{4}y$$

Amnewid -\frac{5y}{4} am x yn yr hafaliad arall, 8x-15y=-5.

$$8\left(-\frac{5}{4}\right)y-15y=-5$$

Lluoswch 8 â -\frac{5y}{4}.

$$-10y-15y=-5$$

Adio -10y at -15y.

$$-25y=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -25.

$$y=\frac{1}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{5} am y yn x=-\frac{5}{4}y. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{5}$$

Lluoswch -\frac{5}{4} â \frac{1}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4\left(-15\right)-5\times 8}&-\frac{5}{4\left(-15\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{4\left(-15\right)-5\times 8}&\frac{4}{4\left(-15\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{2}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-5\right)\\-\frac{1}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

I wneud 4x a 8x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 8 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$8\times 4x+8\times 5y=0,4\times 8x+4\left(-15\right)y=4\left(-5\right)$$

Symleiddio.

$$32x+40y=0,32x-60y=-20$$

Tynnwch 32x-60y=-20 o 32x+40y=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$32x-32x+40y+60y=20$$

Adio 32x at -32x. Mae'r termau 32x a -32x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$40y+60y=20$$

Adio 40y at 60y.

$$100y=20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 100.

$$y=\frac{1}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{5} am y yn 8x-15y=-5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$8x-15\times \frac{1}{5}=-5$$

Lluoswch -15 â \frac{1}{5}.

$$8x-3=-5$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$