Datrys {l}{4x+3y=18}{x+5y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 18 } \\ { x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{84}{17} = 4\frac{16}{17} \approx 4.941176471$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+3y=18$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-3y+18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+18\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -3y+18.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}$$

Amnewid -\frac{3y}{4}+\frac{9}{2} am x yn yr hafaliad arall, x+5y=2.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}+5y=2$$

Adio -\frac{3y}{4} at 5y.

$$\frac{17}{4}y+\frac{9}{2}=2$$

Tynnu \frac{9}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{17}{4}y=-\frac{5}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{17}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{10}{17}$$

Cyfnewidiwch -\frac{10}{17} am y yn x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{10}{17}\right)+\frac{9}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â -\frac{10}{17} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{15}{34}+\frac{9}{2}$$

Adio \frac{9}{2} at \frac{15}{34} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{84}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3}&-\frac{3}{4\times 5-3}\\-\frac{1}{4\times 5-3}&\frac{4}{4\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&-\frac{3}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 18-\frac{3}{17}\times 2\\-\frac{1}{17}\times 18+\frac{4}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{84}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

I wneud 4x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$4x+3y=18,4x+4\times 5y=4\times 2$$

Symleiddio.

$$4x+3y=18,4x+20y=8$$

Tynnwch 4x+20y=8 o 4x+3y=18 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x+3y-20y=18-8$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y-20y=18-8$$

Adio 3y at -20y.

$$-17y=18-8$$

Adio 18 at -8.

$$-17y=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â -17.

$$y=-\frac{10}{17}$$

Cyfnewidiwch -\frac{10}{17} am y yn x+5y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+5\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

Lluoswch 5 â -\frac{10}{17}.

$$x-\frac{50}{17}=2$$

Adio \frac{50}{17} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{84}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$