Datrys {l}{4x+3y=13}{3x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { 3 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+3y=13$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-3y+13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -3y+13.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

Amnewid \frac{-3y+13}{4} am x yn yr hafaliad arall, 3x+6y=26.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}\right)+6y=26$$

Lluoswch 3 â \frac{-3y+13}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{4}+6y=26$$

Adio -\frac{9y}{4} at 6y.

$$\frac{15}{4}y+\frac{39}{4}=26$$

Tynnu \frac{39}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{15}{4}y=\frac{65}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{15}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{13}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{13}{3} am y yn x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{13}{3}+\frac{13}{4}$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â \frac{13}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{-13+13}{4}$$

Adio \frac{13}{4} at -\frac{13}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}&\frac{4}{4\times 6-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 13-\frac{1}{5}\times 26\\-\frac{1}{5}\times 13+\frac{4}{15}\times 26\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

I wneud 4x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 13,4\times 3x+4\times 6y=4\times 26$$

Symleiddio.

$$12x+9y=39,12x+24y=104$$

Tynnwch 12x+24y=104 o 12x+9y=39 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+9y-24y=39-104$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-24y=39-104$$

Adio 9y at -24y.

$$-15y=39-104$$

Adio 39 at -104.

$$-15y=-65$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=\frac{13}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{13}{3} am y yn 3x+6y=26. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+6\times \frac{13}{3}=26$$

Lluoswch 6 â \frac{13}{3}.

$$3x+26=26$$

Tynnu 26 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$