Datrys {l}{4x+2y=2}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 2 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+2y=2$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-2y+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -2y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Amnewid \frac{-y+1}{2} am x yn yr hafaliad arall, x+y=4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Adio -\frac{y}{2} at y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Tynnu \frac{1}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 7.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at -\frac{7}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-4\\-\frac{1}{2}\times 2+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-3,y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

I wneud 4x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$4x+2y=2,4x+4y=4\times 4$$

Symleiddio.

$$4x+2y=2,4x+4y=16$$

Tynnwch 4x+4y=16 o 4x+2y=2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x+2y-4y=2-16$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y-4y=2-16$$

Adio 2y at -4y.

$$-2y=2-16$$

Adio 2 at -16.

$$-2y=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn x+y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+7=4$$

Tynnu 7 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=7$$