Datrys {l}{4x+2y=18}{-3x-6y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 18 } \\ { - 3 x - 6 y = 27 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=9$$

$$y=-9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+2y=18$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-2y+18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+18\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -2y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

Amnewid \frac{-y+9}{2} am x yn yr hafaliad arall, -3x-6y=27.

$$-3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=27$$

Lluoswch -3 â \frac{-y+9}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{27}{2}-6y=27$$

Adio \frac{3y}{2} at -6y.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}=27$$

Adio \frac{27}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{81}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{9}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-9$$

Cyfnewidiwch -9 am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{9}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -9.

$$x=\frac{9+9}{2}$$

Adio \frac{9}{2} at \frac{9}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=-9$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{9}\times 27\\-\frac{1}{6}\times 18-\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=9,y=-9$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

I wneud 4x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$-3\times 4x-3\times 2y=-3\times 18,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 27$$

Symleiddio.

$$-12x-6y=-54,-12x-24y=108$$

Tynnwch -12x-24y=108 o -12x-6y=-54 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-12x+12x-6y+24y=-54-108$$

Adio -12x at 12x. Mae'r termau -12x a 12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-6y+24y=-54-108$$

Adio -6y at 24y.

$$18y=-54-108$$

Adio -54 at -108.

$$18y=-162$$

Rhannu’r ddwy ochr â 18.

$$y=-9$$

Cyfnewidiwch -9 am y yn -3x-6y=27. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x-6\left(-9\right)=27$$

Lluoswch -6 â -9.

$$-3x+54=27$$

Tynnu 54 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-27$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=-9$$