Datrys {l}{4x+2y=12}{7x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+2y=12$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-2y+12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -2y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Amnewid -\frac{y}{2}+3 am x yn yr hafaliad arall, 7x+18y=19.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

Lluoswch 7 â -\frac{y}{2}+3.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

Adio -\frac{7y}{2} at 18y.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

Tynnu 21 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{29}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{4}{29}$$

Cyfnewidiwch -\frac{4}{29} am y yn x=-\frac{1}{2}y+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -\frac{4}{29} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

Adio 3 at \frac{2}{29}.

$$x=\frac{89}{29}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

I wneud 4x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

Symleiddio.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

Tynnwch 28x+72y=76 o 28x+14y=84 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

Adio 28x at -28x. Mae'r termau 28x a -28x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$14y-72y=84-76$$

Adio 14y at -72y.

$$-58y=84-76$$

Adio 84 at -76.

$$-58y=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â -58.

$$y=-\frac{4}{29}$$

Cyfnewidiwch -\frac{4}{29} am y yn 7x+18y=19. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

Lluoswch 18 â -\frac{4}{29}.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

Adio \frac{72}{29} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=\frac{623}{29}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{89}{29}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$