Datrys {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a_1, d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a_{1} drwy ynysu a_{1} ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4a_{1}+6d=3$$

Tynnu 6d o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4a_{1}=-6d+3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -6d+3.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

Amnewid -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} am a_{1} yn yr hafaliad arall, 3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

Lluoswch 3 â -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

Adio -\frac{9d}{2} at 21d.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

Tynnu \frac{9}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{33}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$d=\frac{7}{66}$$

Cyfnewidiwch \frac{7}{66} am d yn a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a_{1} yn uniongyrchol.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â \frac{7}{66} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

Adio \frac{3}{4} at -\frac{7}{44} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a_{1} a d.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

I wneud 4a_{1} a 3a_{1} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

Symleiddio.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

Tynnwch 12a_{1}+84d=16 o 12a_{1}+18d=9 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

Adio 12a_{1} at -12a_{1}. Mae'r termau 12a_{1} a -12a_{1} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$18d-84d=9-16$$

Adio 18d at -84d.

$$-66d=9-16$$

Adio 9 at -16.

$$-66d=-7$$

Rhannu’r ddwy ochr â -66.

$$d=\frac{7}{66}$$

Cyfnewidiwch \frac{7}{66} am d yn 3a_{1}+21d=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a_{1} yn uniongyrchol.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

Lluoswch 21 â \frac{7}{66}.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

Tynnu \frac{49}{22} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$