Datrys {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4a+5b=9$$

Tynnu 5b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4a=-5b+9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -5b+9.

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

Amnewid \frac{-5b+9}{4} am a yn yr hafaliad arall, 2a-b=7.

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

Lluoswch 2 â \frac{-5b+9}{4}.

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

Adio -\frac{5b}{2} at -b.

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

Tynnu \frac{9}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{7}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$b=-\frac{5}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{7} am b yn a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

Lluoswch -\frac{5}{4} â -\frac{5}{7} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

Adio \frac{9}{4} at \frac{25}{28} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=\frac{22}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

I wneud 4a a 2a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

Symleiddio.

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

Tynnwch 8a-4b=28 o 8a+10b=18 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

Adio 8a at -8a. Mae'r termau 8a a -8a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10b+4b=18-28$$

Adio 10b at 4b.

$$14b=18-28$$

Adio 18 at -28.

$$14b=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 14.

$$b=-\frac{5}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{7} am b yn 2a-b=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

Tynnu \frac{5}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2a=\frac{44}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$a=\frac{22}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$