Datrys {l}{36x-5y=7}{6x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$36x-5y=7$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$36x=5y+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 36.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{36} â 5y+7.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

Amnewid \frac{5y+7}{36} am x yn yr hafaliad arall, 6x+3y=8.

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

Lluoswch 6 â \frac{5y+7}{36}.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

Adio \frac{5y}{6} at 3y.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

Tynnu \frac{7}{6} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{23}{6}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{41}{23}$$

Cyfnewidiwch \frac{41}{23} am y yn x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

Lluoswch \frac{5}{36} â \frac{41}{23} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

Adio \frac{7}{36} at \frac{205}{828} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{61}{138}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

I wneud 36x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 36.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

Symleiddio.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

Tynnwch 216x+108y=288 o 216x-30y=42 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

Adio 216x at -216x. Mae'r termau 216x a -216x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-30y-108y=42-288$$

Adio -30y at -108y.

$$-138y=42-288$$

Adio 42 at -288.

$$-138y=-246$$

Rhannu’r ddwy ochr â -138.

$$y=\frac{41}{23}$$

Cyfnewidiwch \frac{41}{23} am y yn 6x+3y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

Lluoswch 3 â \frac{41}{23}.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

Tynnu \frac{123}{23} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=\frac{61}{23}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{61}{138}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$