Datrys {l}{3y=7x-13}{4y=-3x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y = 7 x - 13 } \\ { 4 y = - 3 x - 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=1$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 7x o'r ddwy ochr.

$$3y-7x=-13$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 3x at y ddwy ochr.

$$4y+3x=-5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3y-7x=-13,4y+3x=-5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3y-7x=-13$$

Adio 7x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=7x-13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-13\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 7x-13.

$$y=\frac{7}{3}x-\frac{13}{3}$$

Amnewid \frac{7x-13}{3} am y yn yr hafaliad arall, 4y+3x=-5.

$$4\left(\frac{7}{3}x-\frac{13}{3}\right)+3x=-5$$

Lluoswch 4 â \frac{7x-13}{3}.

$$\frac{28}{3}x-\frac{52}{3}+3x=-5$$

Adio \frac{28x}{3} at 3x.

$$\frac{37}{3}x-\frac{52}{3}=-5$$

Adio \frac{52}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{37}{3}x=\frac{37}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{37}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=1$$

Cyfnewidiwch 1 am x yn y=\frac{7}{3}x-\frac{13}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{7-13}{3}$$

Adio -\frac{13}{3} at \frac{7}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-2,x=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 7x o'r ddwy ochr.

$$3y-7x=-13$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 3x at y ddwy ochr.

$$4y+3x=-5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3y-7x=-13,4y+3x=-5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-7\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 4\right)}&-\frac{-7}{3\times 3-\left(-7\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-7\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{37}&\frac{7}{37}\\-\frac{4}{37}&\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{37}\left(-13\right)+\frac{7}{37}\left(-5\right)\\-\frac{4}{37}\left(-13\right)+\frac{3}{37}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=-2,x=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 7x o'r ddwy ochr.

$$3y-7x=-13$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 3x at y ddwy ochr.

$$4y+3x=-5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3y-7x=-13,4y+3x=-5$$

I wneud 3y a 4y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$4\times 3y+4\left(-7\right)x=4\left(-13\right),3\times 4y+3\times 3x=3\left(-5\right)$$

Symleiddio.

$$12y-28x=-52,12y+9x=-15$$

Tynnwch 12y+9x=-15 o 12y-28x=-52 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12y-12y-28x-9x=-52+15$$

Adio 12y at -12y. Mae'r termau 12y a -12y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-28x-9x=-52+15$$

Adio -28x at -9x.

$$-37x=-52+15$$

Adio -52 at 15.

$$-37x=-37$$

Rhannu’r ddwy ochr â -37.

$$x=1$$

Cyfnewidiwch 1 am x yn 4y+3x=-5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$4y+3=-5$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4y=-8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-2,x=1$$