Datrys {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=10$$

$$y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3y+x=31$$

Tynnu x o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=-x+31$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -x+31.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

Amnewid \frac{-x+31}{3} am y yn yr hafaliad arall, 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

Lluoswch 2 â \frac{-x+31}{3}.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

Adio -\frac{2x}{3} at 3x.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

Tynnu \frac{62}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{7}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=10$$

Cyfnewidiwch 10 am x yn y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â 10.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

Adio \frac{31}{3} at -\frac{10}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=7,x=10$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=7,x=10$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

I wneud 3y a 2y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

Symleiddio.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

Tynnwch 6y+9x=132 o 6y+2x=62 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

Adio 6y at -6y. Mae'r termau 6y a -6y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2x-9x=62-132$$

Adio 2x at -9x.

$$-7x=62-132$$

Adio 62 at -132.

$$-7x=-70$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$x=10$$

Cyfnewidiwch 10 am x yn 2y+3x=44. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$2y+3\times 10=44$$

Lluoswch 3 â 10.

$$2y+30=44$$

Tynnu 30 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=7,x=10$$