Datrys {l}{3x-y-2=0}{2x+y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y - 2 = 0 } \\ { 2 x + y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-y-2=0$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x-y=2$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=y+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Amnewid \frac{2+y}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x+y-8=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y-8=0$$

Lluoswch 2 â \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}+y-8=0$$

Adio \frac{2y}{3} at y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-8=0$$

Adio \frac{4}{3} at -8.

$$\frac{5}{3}y-\frac{20}{3}=0$$

Adio \frac{20}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 4.

$$x=\frac{4+2}{3}$$

Adio \frac{2}{3} at \frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{2}{5}\times 2+\frac{3}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y+2\left(-2\right)=0,3\times 2x+3y+3\left(-8\right)=0$$

Symleiddio.

$$6x-2y-4=0,6x+3y-24=0$$

Tynnwch 6x+3y-24=0 o 6x-2y-4=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-2y-3y-4+24=0$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y-3y-4+24=0$$

Adio -2y at -3y.

$$-5y-4+24=0$$

Adio -4 at 24.

$$-5y+20=0$$

Tynnu 20 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5y=-20$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 2x+y-8=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+4-8=0$$

Adio 4 at -8.

$$2x-4=0$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=4$$