Datrys {l}{3x-y=3}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 3 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-y=3$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=y+3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â y+3.

$$x=\frac{1}{3}y+1$$

Amnewid \frac{y}{3}+1 am x yn yr hafaliad arall, 7x+2y=20.

$$7\left(\frac{1}{3}y+1\right)+2y=20$$

Lluoswch 7 â \frac{y}{3}+1.

$$\frac{7}{3}y+7+2y=20$$

Adio \frac{7y}{3} at 2y.

$$\frac{13}{3}y+7=20$$

Tynnu 7 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{13}{3}y=13$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=\frac{1}{3}y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+1$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 3.

$$x=1+1$$

Adio 1 at 1.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{3\times 2-\left(-7\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{7}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 3+\frac{1}{13}\times 20\\-\frac{7}{13}\times 3+\frac{3}{13}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

I wneud 3x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$7\times 3x+7\left(-1\right)y=7\times 3,3\times 7x+3\times 2y=3\times 20$$

Symleiddio.

$$21x-7y=21,21x+6y=60$$

Tynnwch 21x+6y=60 o 21x-7y=21 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$21x-21x-7y-6y=21-60$$

Adio 21x at -21x. Mae'r termau 21x a -21x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-7y-6y=21-60$$

Adio -7y at -6y.

$$-13y=21-60$$

Adio 21 at -60.

$$-13y=-39$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 7x+2y=20. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x+2\times 3=20$$

Lluoswch 2 â 3.

$$7x+6=20$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=3$$