Datrys {l}{3x-y+2=0}{5x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { 5 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-y+2=0$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x-y=-2$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=y-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Amnewid \frac{-2+y}{3} am x yn yr hafaliad arall, 5x-2y+1=0.

$$5\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-2y+1=0$$

Lluoswch 5 â \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}-2y+1=0$$

Adio \frac{5y}{3} at -2y.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}+1=0$$

Adio -\frac{10}{3} at 1.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{7}{3}=0$$

Adio \frac{7}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Lluosi’r ddwy ochr â -3.

$$y=-7$$

Cyfnewidiwch -7 am y yn x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{2}{3}$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -7.

$$x=\frac{-7-2}{3}$$

Adio -\frac{2}{3} at -\frac{7}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)-\left(-1\right)\\5\left(-2\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-3,y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

I wneud 3x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y+5\times 2=0,3\times 5x+3\left(-2\right)y+3=0$$

Symleiddio.

$$15x-5y+10=0,15x-6y+3=0$$

Tynnwch 15x-6y+3=0 o 15x-5y+10=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x-5y+6y+10-3=0$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-5y+6y+10-3=0$$

Adio -5y at 6y.

$$y+10-3=0$$

Adio 10 at -3.

$$y+7=0$$

Tynnu 7 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-7$$

Cyfnewidiwch -7 am y yn 5x-2y+1=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x-2\left(-7\right)+1=0$$

Lluoswch -2 â -7.

$$5x+14+1=0$$

Adio 14 at 1.

$$5x+15=0$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=-7$$