Datrys {l}{3x-5y=-18}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 18 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-5y=-18$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=5y-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-18\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 5y-18.

$$x=\frac{5}{3}y-6$$

Amnewid \frac{5y}{3}-6 am x yn yr hafaliad arall, 3x-2y=9.

$$3\left(\frac{5}{3}y-6\right)-2y=9$$

Lluoswch 3 â \frac{5y}{3}-6.

$$5y-18-2y=9$$

Adio 5y at -2y.

$$3y-18=9$$

Adio 18 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=27$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn x=\frac{5}{3}y-6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{3}\times 9-6$$

Lluoswch \frac{5}{3} â 9.

$$x=15-6$$

Adio -6 at 15.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-18\right)+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{1}{3}\left(-18\right)+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=9,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Tynnwch 3x-2y=9 o 3x-5y=-18 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x-5y+2y=-18-9$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-5y+2y=-18-9$$

Adio -5y at 2y.

$$-3y=-18-9$$

Adio -18 at -9.

$$-3y=-27$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn 3x-2y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-2\times 9=9$$

Lluoswch -2 â 9.

$$3x-18=9$$

Adio 18 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=27$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=9$$