Datrys {l}{3x-5y=-16}{2x+5y=31}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 16 } \\ { 2 x + 5 y = 31 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-5y=-16$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=5y-16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-16\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 5y-16.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}$$

Amnewid \frac{5y-16}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x+5y=31.

$$2\left(\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}\right)+5y=31$$

Lluoswch 2 â \frac{5y-16}{3}.

$$\frac{10}{3}y-\frac{32}{3}+5y=31$$

Adio \frac{10y}{3} at 5y.

$$\frac{25}{3}y-\frac{32}{3}=31$$

Adio \frac{32}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{25}{3}y=\frac{125}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{25}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{3}\times 5-\frac{16}{3}$$

Lluoswch \frac{5}{3} â 5.

$$x=\frac{25-16}{3}$$

Adio -\frac{16}{3} at \frac{25}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-16\right)+\frac{1}{5}\times 31\\-\frac{2}{25}\left(-16\right)+\frac{3}{25}\times 31\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-16\right),3\times 2x+3\times 5y=3\times 31$$

Symleiddio.

$$6x-10y=-32,6x+15y=93$$

Tynnwch 6x+15y=93 o 6x-10y=-32 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-10y-15y=-32-93$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-10y-15y=-32-93$$

Adio -10y at -15y.

$$-25y=-32-93$$

Adio -32 at -93.

$$-25y=-125$$

Rhannu’r ddwy ochr â -25.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 2x+5y=31. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+5\times 5=31$$

Lluoswch 5 â 5.

$$2x+25=31$$

Tynnu 25 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=5$$