Datrys {l}{3x-4y=16}{2x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 16 } \\ { 2 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=8$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-4y=16$$

Adio 4y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=4y+16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+16\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 16+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}$$

Amnewid \frac{16+4y}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x-3y=10.

$$2\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-3y=10$$

Lluoswch 2 â \frac{16+4y}{3}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{32}{3}-3y=10$$

Adio \frac{8y}{3} at -3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{32}{3}=10$$

Tynnu \frac{32}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Lluosi’r ddwy ochr â -3.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{4}{3}\times 2+\frac{16}{3}$$

Lluoswch \frac{4}{3} â 2.

$$x=\frac{8+16}{3}$$

Adio \frac{16}{3} at \frac{8}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16-4\times 10\\2\times 16-3\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=8,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 16,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10$$

Symleiddio.

$$6x-8y=32,6x-9y=30$$

Tynnwch 6x-9y=30 o 6x-8y=32 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-8y+9y=32-30$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-8y+9y=32-30$$

Adio -8y at 9y.

$$y=32-30$$

Adio 32 at -30.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 2x-3y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-3\times 2=10$$

Lluoswch -3 â 2.

$$2x-6=10$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=2$$