Datrys {l}{3x-2y=6}{x/3-y/6=1/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 6 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 6 } = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,6,2.

$$2x-y=3$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-2y=6$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=2y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Amnewid \frac{2y}{3}+2 am x yn yr hafaliad arall, 2x-y=3.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)-y=3$$

Lluoswch 2 â \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4-y=3$$

Adio \frac{4y}{3} at -y.

$$\frac{1}{3}y+4=3$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn x=\frac{2}{3}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\left(-3\right)+2$$

Lluoswch \frac{2}{3} â -3.

$$x=-2+2$$

Adio 2 at -2.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6+2\times 3\\-2\times 6+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

Symleiddio.

$$6x-4y=12,6x-3y=9$$

Tynnwch 6x-3y=9 o 6x-4y=12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-4y+3y=12-9$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y+3y=12-9$$

Adio -4y at 3y.

$$-y=12-9$$

Adio 12 at -9.

$$-y=3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn 2x-y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-\left(-3\right)=3$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-3$$