Datrys {l}{3x-2y=5}{2x-3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { 2 x - 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-2y=5$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=2y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Amnewid \frac{2y+5}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x-3y=15.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-3y=15$$

Lluoswch 2 â \frac{2y+5}{3}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-3y=15$$

Adio \frac{4y}{3} at -3y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=15$$

Tynnu \frac{10}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{5}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-7$$

Cyfnewidiwch -7 am y yn x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\left(-7\right)+\frac{5}{3}$$

Lluoswch \frac{2}{3} â -7.

$$x=\frac{-14+5}{3}$$

Adio \frac{5}{3} at -\frac{14}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-3,y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15$$

Symleiddio.

$$6x-4y=10,6x-9y=45$$

Tynnwch 6x-9y=45 o 6x-4y=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-4y+9y=10-45$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y+9y=10-45$$

Adio -4y at 9y.

$$5y=10-45$$

Adio 10 at -45.

$$5y=-35$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=-7$$

Cyfnewidiwch -7 am y yn 2x-3y=15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-3\left(-7\right)=15$$

Lluoswch -3 â -7.

$$2x+21=15$$

Tynnu 21 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=-7$$