Datrys {l}{3x-2y=1/27}{2x+6y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = \frac { 1 } { 27 } } \\ { 2 x + 6 y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{91}{99}\approx 0.919191919$$

$$y = \frac{404}{297} = 1\frac{107}{297} \approx 1.36026936$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-2y=\frac{1}{27},2x+6y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-2y=\frac{1}{27}$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=2y+\frac{1}{27}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+\frac{1}{27}\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 2y+\frac{1}{27}.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{81}$$

Amnewid \frac{2y}{3}+\frac{1}{81} am x yn yr hafaliad arall, 2x+6y=10.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{81}\right)+6y=10$$

Lluoswch 2 â \frac{2y}{3}+\frac{1}{81}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{2}{81}+6y=10$$

Adio \frac{4y}{3} at 6y.

$$\frac{22}{3}y+\frac{2}{81}=10$$

Tynnu \frac{2}{81} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{22}{3}y=\frac{808}{81}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{22}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{404}{297}$$

Cyfnewidiwch \frac{404}{297} am y yn x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{81}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{404}{297}+\frac{1}{81}$$

Lluoswch \frac{2}{3} â \frac{404}{297} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{808}{891}+\frac{1}{81}$$

Adio \frac{1}{81} at \frac{808}{891} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{91}{99}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{91}{99},y=\frac{404}{297}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-2y=\frac{1}{27},2x+6y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times \frac{1}{27}+\frac{1}{11}\times 10\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{27}+\frac{3}{22}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{99}\\\frac{404}{297}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{91}{99},y=\frac{404}{297}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-2y=\frac{1}{27},2x+6y=10$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times \frac{1}{27},3\times 2x+3\times 6y=3\times 10$$

Symleiddio.

$$6x-4y=\frac{2}{27},6x+18y=30$$

Tynnwch 6x+18y=30 o 6x-4y=\frac{2}{27} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-4y-18y=\frac{2}{27}-30$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y-18y=\frac{2}{27}-30$$

Adio -4y at -18y.

$$-22y=\frac{2}{27}-30$$

Adio \frac{2}{27} at -30.

$$-22y=-\frac{808}{27}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -22.

$$y=\frac{404}{297}$$

Cyfnewidiwch \frac{404}{297} am y yn 2x+6y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+6\times \frac{404}{297}=10$$

Lluoswch 6 â \frac{404}{297}.

$$2x+\frac{808}{99}=10$$

Tynnu \frac{808}{99} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{182}{99}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{91}{99}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{91}{99},y=\frac{404}{297}$$