Datrys {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-2y+3=0$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x-2y=-3$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=2y-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

Amnewid \frac{2y}{3}-1 am x yn yr hafaliad arall, 4x+3y-47=0.

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

Lluoswch 4 â \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

Adio \frac{8y}{3} at 3y.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

Adio -4 at -47.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

Adio 51 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{17}{3}y=51$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{17}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn x=\frac{2}{3}y-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

Lluoswch \frac{2}{3} â 9.

$$x=6-1$$

Adio -1 at 6.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=5,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

I wneud 3x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

Symleiddio.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

Tynnwch 12x+9y-141=0 o 12x-8y+12=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-8y-9y+12+141=0$$

Adio -8y at -9y.

$$-17y+12+141=0$$

Adio 12 at 141.

$$-17y+153=0$$

Tynnu 153 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-17y=-153$$

Rhannu’r ddwy ochr â -17.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn 4x+3y-47=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+3\times 9-47=0$$

Lluoswch 3 â 9.

$$4x+27-47=0$$

Adio 27 at -47.

$$4x-20=0$$

Adio 20 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=9$$