Datrys {l}{3x+y=9}{2x-3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 9 } \\ { 2 x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=9$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y+9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

Amnewid -\frac{y}{3}+3 am x yn yr hafaliad arall, 2x-3y=6.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-3y=6$$

Lluoswch 2 â -\frac{y}{3}+3.

$$-\frac{2}{3}y+6-3y=6$$

Adio -\frac{2y}{3} at -3y.

$$-\frac{11}{3}y+6=6$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{3}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=-\frac{1}{3}y+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 9+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{2}{11}\times 9-\frac{3}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2y=2\times 9,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Symleiddio.

$$6x+2y=18,6x-9y=18$$

Tynnwch 6x-9y=18 o 6x+2y=18 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+2y+9y=18-18$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y+9y=18-18$$

Adio 2y at 9y.

$$11y=18-18$$

Adio 18 at -18.

$$11y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn 2x-3y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=0$$