Datrys {l}{3x+y=5}{2x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-5$$

$$y=20$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=5$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Amnewid \frac{-y+5}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x+y=10.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=10$$

Lluoswch 2 â \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}+y=10$$

Adio -\frac{2y}{3} at y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

Tynnu \frac{10}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{3}y=\frac{20}{3}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$y=20$$

Cyfnewidiwch 20 am y yn x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times 20+\frac{5}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â 20.

$$x=\frac{-20+5}{3}$$

Adio \frac{5}{3} at -\frac{20}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-5,y=20$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-10\\-2\times 5+3\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-5,y=20$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Tynnwch 2x+y=10 o 3x+y=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-2x+y-y=5-10$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3x-2x=5-10$$

Adio 3x at -2x.

$$x=5-10$$

Adio 5 at -10.

$$x=-5$$

Cyfnewidiwch -5 am x yn 2x+y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$2\left(-5\right)+y=10$$

Lluoswch 2 â -5.

$$-10+y=10$$

Adio 10 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=20$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-5,y=20$$