Datrys {l}{3x+y=1}{x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=1,x+y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=1$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Amnewid \frac{-y+1}{3} am x yn yr hafaliad arall, x+y=2.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}+y=2$$

Adio -\frac{y}{3} at y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=2$$

Tynnu \frac{1}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{3}y=\frac{5}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{5}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{2} am y yn x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â \frac{5}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{5}{6}+\frac{1}{3}$$

Adio \frac{1}{3} at -\frac{5}{6} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=1,x+y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 2\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=1,x+y=2$$

Tynnwch x+y=2 o 3x+y=1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-x+y-y=1-2$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3x-x=1-2$$

Adio 3x at -x.

$$2x=1-2$$

Adio 1 at -2.

$$2x=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{2} am x yn x+y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$-\frac{1}{2}+y=2$$

Adio \frac{1}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{5}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$