Datrys {l}{3x+y=1}{2x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 2 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = -\frac{31}{5} = -6\frac{1}{5} = -6.2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=1$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Amnewid \frac{-y+1}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x-y=11.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=11$$

Lluoswch 2 â \frac{-y+1}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}-y=11$$

Adio -\frac{2y}{3} at -y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{2}{3}=11$$

Tynnu \frac{2}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{31}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{5}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{31}{5}$$

Cyfnewidiwch -\frac{31}{5} am y yn x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{31}{5}\right)+\frac{1}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -\frac{31}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{31}{15}+\frac{1}{3}$$

Adio \frac{1}{3} at \frac{31}{15} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{12}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 11\\\frac{2}{5}-\frac{3}{5}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\-\frac{31}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2y=2,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

Symleiddio.

$$6x+2y=2,6x-3y=33$$

Tynnwch 6x-3y=33 o 6x+2y=2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+2y+3y=2-33$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y+3y=2-33$$

Adio 2y at 3y.

$$5y=2-33$$

Adio 2 at -33.

$$5y=-31$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=-\frac{31}{5}$$

Cyfnewidiwch -\frac{31}{5} am y yn 2x-y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-\left(-\frac{31}{5}\right)=11$$

Tynnu \frac{31}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{24}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{12}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$