Datrys {l}{3x+7y=63}{2x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 63 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+7y=63$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-7y+63$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+63\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -7y+63.

$$x=-\frac{7}{3}y+21$$

Amnewid -\frac{7y}{3}+21 am x yn yr hafaliad arall, 2x+4y=38.

$$2\left(-\frac{7}{3}y+21\right)+4y=38$$

Lluoswch 2 â -\frac{7y}{3}+21.

$$-\frac{14}{3}y+42+4y=38$$

Adio -\frac{14y}{3} at 4y.

$$-\frac{2}{3}y+42=38$$

Tynnu 42 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{2}{3}y=-4$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{2}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn x=-\frac{7}{3}y+21. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{7}{3}\times 6+21$$

Lluoswch -\frac{7}{3} â 6.

$$x=-14+21$$

Adio 21 at -14.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-7\times 2}&-\frac{7}{3\times 4-7\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-7\times 2}&\frac{3}{3\times 4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 63+\frac{7}{2}\times 38\\63-\frac{3}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\times 7y=2\times 63,3\times 2x+3\times 4y=3\times 38$$

Symleiddio.

$$6x+14y=126,6x+12y=114$$

Tynnwch 6x+12y=114 o 6x+14y=126 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+14y-12y=126-114$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$14y-12y=126-114$$

Adio 14y at -12y.

$$2y=126-114$$

Adio 126 at -114.

$$2y=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn 2x+4y=38. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+4\times 6=38$$

Lluoswch 4 â 6.

$$2x+24=38$$

Tynnu 24 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=6$$