Datrys {l}{3x+7y=10}{4x-19y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 10 } \\ { 4 x - 19 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{239}{85} = 2\frac{69}{85} \approx 2.811764706$$

$$y=\frac{19}{85}\approx 0.223529412$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+7y=10$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-7y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -7y+10.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}$$

Amnewid \frac{-7y+10}{3} am x yn yr hafaliad arall, 4x-19y=7.

$$4\left(-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}\right)-19y=7$$

Lluoswch 4 â \frac{-7y+10}{3}.

$$-\frac{28}{3}y+\frac{40}{3}-19y=7$$

Adio -\frac{28y}{3} at -19y.

$$-\frac{85}{3}y+\frac{40}{3}=7$$

Tynnu \frac{40}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{85}{3}y=-\frac{19}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{85}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{19}{85}$$

Cyfnewidiwch \frac{19}{85} am y yn x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{7}{3}\times \frac{19}{85}+\frac{10}{3}$$

Lluoswch -\frac{7}{3} â \frac{19}{85} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{133}{255}+\frac{10}{3}$$

Adio \frac{10}{3} at -\frac{133}{255} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{239}{85}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{3\left(-19\right)-7\times 4}&-\frac{7}{3\left(-19\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-19\right)-7\times 4}&\frac{3}{3\left(-19\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}&\frac{7}{85}\\\frac{4}{85}&-\frac{3}{85}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}\times 10+\frac{7}{85}\times 7\\\frac{4}{85}\times 10-\frac{3}{85}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{239}{85}\\\frac{19}{85}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

I wneud 3x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$4\times 3x+4\times 7y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-19\right)y=3\times 7$$

Symleiddio.

$$12x+28y=40,12x-57y=21$$

Tynnwch 12x-57y=21 o 12x+28y=40 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+28y+57y=40-21$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$28y+57y=40-21$$

Adio 28y at 57y.

$$85y=40-21$$

Adio 40 at -21.

$$85y=19$$

Rhannu’r ddwy ochr â 85.

$$y=\frac{19}{85}$$

Cyfnewidiwch \frac{19}{85} am y yn 4x-19y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-19\times \frac{19}{85}=7$$

Lluoswch -19 â \frac{19}{85}.

$$4x-\frac{361}{85}=7$$

Adio \frac{361}{85} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{956}{85}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{239}{85}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$