Datrys {l}{3x+5y=14}{2x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+5y=14,2x+4y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+5y=14$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-5y+14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+14\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -5y+14.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{14}{3}$$

Amnewid \frac{-5y+14}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x+4y=10.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{14}{3}\right)+4y=10$$

Lluoswch 2 â \frac{-5y+14}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}+4y=10$$

Adio -\frac{10y}{3} at 4y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{28}{3}=10$$

Tynnu \frac{28}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{3}y=\frac{2}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=-\frac{5}{3}y+\frac{14}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{-5+14}{3}$$

Adio \frac{14}{3} at -\frac{5}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+5y=14,2x+4y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-5\times 2}&\frac{3}{3\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-\frac{5}{2}\times 10\\-14+\frac{3}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+5y=14,2x+4y=10$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 14,3\times 2x+3\times 4y=3\times 10$$

Symleiddio.

$$6x+10y=28,6x+12y=30$$

Tynnwch 6x+12y=30 o 6x+10y=28 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+10y-12y=28-30$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10y-12y=28-30$$

Adio 10y at -12y.

$$-2y=28-30$$

Adio 28 at -30.

$$-2y=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 2x+4y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+4=10$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$