Datrys {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 22x at y ddwy ochr.

$$-5x+2y+22x=0$$

Cyfuno -5x a 22x i gael 17x.

$$17x+2y=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+5y=-24$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-5y-24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -5y-24.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

Amnewid -\frac{5y}{3}-8 am x yn yr hafaliad arall, 17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

Lluoswch 17 â -\frac{5y}{3}-8.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

Adio -\frac{85y}{3} at 2y.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

Adio 136 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{79}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Cyfnewidiwch -\frac{408}{79} am y yn x=-\frac{5}{3}y-8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

Lluoswch -\frac{5}{3} â -\frac{408}{79} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

Adio -8 at \frac{680}{79}.

$$x=\frac{48}{79}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 22x at y ddwy ochr.

$$-5x+2y+22x=0$$

Cyfuno -5x a 22x i gael 17x.

$$17x+2y=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 22x at y ddwy ochr.

$$-5x+2y+22x=0$$

Cyfuno -5x a 22x i gael 17x.

$$17x+2y=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

I wneud 3x a 17x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 17 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

Symleiddio.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

Tynnwch 51x+6y=0 o 51x+85y=-408 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

Adio 51x at -51x. Mae'r termau 51x a -51x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$85y-6y=-408$$

Adio 85y at -6y.

$$79y=-408$$

Rhannu’r ddwy ochr â 79.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Cyfnewidiwch -\frac{408}{79} am y yn 17x+2y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

Lluoswch 2 â -\frac{408}{79}.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

Adio \frac{816}{79} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$17x=\frac{816}{79}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$x=\frac{48}{79}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$