Datrys {l}{3x+4y=5-6}{2x-3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 - 6 } \\ { 2 x - 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{29}{17} = 1\frac{12}{17} \approx 1.705882353$$

$$y = -\frac{26}{17} = -1\frac{9}{17} \approx -1.529411765$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+4y=-1,2x-3y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+4y=-1$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-4y-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -4y-1.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}$$

Amnewid \frac{-4y-1}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x-3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}\right)-3y=8$$

Lluoswch 2 â \frac{-4y-1}{3}.

$$-\frac{8}{3}y-\frac{2}{3}-3y=8$$

Adio -\frac{8y}{3} at -3y.

$$-\frac{17}{3}y-\frac{2}{3}=8$$

Adio \frac{2}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{17}{3}y=\frac{26}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{17}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{26}{17}$$

Cyfnewidiwch -\frac{26}{17} am y yn x=-\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{26}{17}\right)-\frac{1}{3}$$

Lluoswch -\frac{4}{3} â -\frac{26}{17} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{104}{51}-\frac{1}{3}$$

Adio -\frac{1}{3} at \frac{104}{51} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{29}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{29}{17},y=-\frac{26}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+4y=-1,2x-3y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 2}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-4\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{4}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-1\right)+\frac{4}{17}\times 8\\\frac{2}{17}\left(-1\right)-\frac{3}{17}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{17}\\-\frac{26}{17}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{29}{17},y=-\frac{26}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+4y=-1,2x-3y=8$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\times 4y=2\left(-1\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 8$$

Symleiddio.

$$6x+8y=-2,6x-9y=24$$

Tynnwch 6x-9y=24 o 6x+8y=-2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+8y+9y=-2-24$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8y+9y=-2-24$$

Adio 8y at 9y.

$$17y=-2-24$$

Adio -2 at -24.

$$17y=-26$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$y=-\frac{26}{17}$$

Cyfnewidiwch -\frac{26}{17} am y yn 2x-3y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-3\left(-\frac{26}{17}\right)=8$$

Lluoswch -3 â -\frac{26}{17}.

$$2x+\frac{78}{17}=8$$

Tynnu \frac{78}{17} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{58}{17}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{29}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{29}{17},y=-\frac{26}{17}$$