Datrys {l}{3x+4y=10}{3y+7x=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 10 } \\ { 3 y + 7 x = 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{6}{19}\approx 0.315789474$$

$$y = \frac{43}{19} = 2\frac{5}{19} \approx 2.263157895$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+4y=10,7x+3y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+4y=10$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-4y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -4y+10.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

Amnewid \frac{-4y+10}{3} am x yn yr hafaliad arall, 7x+3y=9.

$$7\left(-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}\right)+3y=9$$

Lluoswch 7 â \frac{-4y+10}{3}.

$$-\frac{28}{3}y+\frac{70}{3}+3y=9$$

Adio -\frac{28y}{3} at 3y.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{70}{3}=9$$

Tynnu \frac{70}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{43}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{19}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{43}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{43}{19} am y yn x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{43}{19}+\frac{10}{3}$$

Lluoswch -\frac{4}{3} â \frac{43}{19} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{172}{57}+\frac{10}{3}$$

Adio \frac{10}{3} at -\frac{172}{57} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{6}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{6}{19},y=\frac{43}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+4y=10,7x+3y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&4\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 7}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 7}\\-\frac{7}{3\times 3-4\times 7}&\frac{3}{3\times 3-4\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\\\frac{7}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 10+\frac{4}{19}\times 9\\\frac{7}{19}\times 10-\frac{3}{19}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\\\frac{43}{19}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{6}{19},y=\frac{43}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+4y=10,7x+3y=9$$

I wneud 3x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$7\times 3x+7\times 4y=7\times 10,3\times 7x+3\times 3y=3\times 9$$

Symleiddio.

$$21x+28y=70,21x+9y=27$$

Tynnwch 21x+9y=27 o 21x+28y=70 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$21x-21x+28y-9y=70-27$$

Adio 21x at -21x. Mae'r termau 21x a -21x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$28y-9y=70-27$$

Adio 28y at -9y.

$$19y=70-27$$

Adio 70 at -27.

$$19y=43$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$y=\frac{43}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{43}{19} am y yn 7x+3y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x+3\times \frac{43}{19}=9$$

Lluoswch 3 â \frac{43}{19}.

$$7x+\frac{129}{19}=9$$

Tynnu \frac{129}{19} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=\frac{42}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{6}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{6}{19},y=\frac{43}{19}$$